Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，AD⊥BC，然后对各小题分析判断解答即可．

解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB上一点与AC上一点到D的距离相等错误；AD上任意一点到AB、AC的距离相等正确，故①错误，②正确；
又∵∠BDE=90°-∠B，∠CDF=90°-∠C，
∴BDE=∠CDF，故③正确；
根据等腰三角形三线合一的性质，BD=CD，AD⊥BC，故④正确，
综上所述，正确的结论有②③④共3个．
故选C．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．