Question

如图，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

(3)连结OA、AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，所们理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意可设抛物线的解析式为　　(1分) 　　∵抛物线过原点 　　∴ 　　∴　　(2分) 　　∴抛物线的解析式为 　　即．　　(4分) 　　(2)∵△AOB与△MOB同底不等高 　　又∵S△MOB＝3S△AOB 　　∴△MOB的高是△AOB高的3倍 　　即点M的纵坐标是　　(6分) 　　∴ 　　 　　解得， 　　∴ 　　　　(8分) 　　(3)由抛物线的对称性可知： 　　AO＝AB 　　 　　若△OBN与△OAB相似 　　必须有　　(9分) 　　显然 　　∴直线ON的解析式为　　(10分) 　　由，得， 　　∴　　(11分) 　　过N作NE⊥x轴，垂足为E． 　　在Rt△BEN中，BE＝2，NE＝3， 　　∴　又OB＝4 　　∴NB≠OB 　　∴∠BON≠∠BNO 　　∴△OBN与△OAB不相似　　(12分) 　　同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点． 　　所以在抛物线上不存在N点，使得△OBN与△OAB相似　　(13分)