Question

【题目】综合与实践

观察猜想

如图1，有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角尺叠放在一起，点在上，点在上.

（1）在图1中，你发现线段，的数量关系是___________，直线，的位置关系是________.

操作发现

（2）将图1中的绕点逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由；

拓广探索

（3）如图3，若只把“有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角尺”改为“有公共顶角为（锐角）的两个不全等等腰三角形”，绕点逆时针旋转任意一个锐角，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）将图1中的绕点逆时针旋转一个锐角时，两个结论成立.理由见解析；（3）结论成立；结论不成立.

【解析】

（1）根据△ABC和△ADE是等腰直角三角形，得到AB=AC，AD=AE，∠A=90°，即可得出结论；

（2）由旋转的性质得到∠DAB=∠EAC．根据SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE．延长DB，交CE于点F，交AE于点O．由全等三角形对应角相等得到∠ADB=∠AEC．根据三角形内角和定理和对顶角相等，得到∠OFE=∠OAD=90°，即可得出结论．

（3）类似（2）可得BD=CE成立，BD⊥CE不成立．

（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠A=90°，∴BD=CE，BD⊥CE．

故答案为：BD=CE，BD⊥CE．

（2）将图1中的△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角时，两个结论成立．理由如下：

由旋转得：∠DAB=∠EAC．

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

如图，延长DB，交CE于点F，交AE于点O．

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC．

∵∠AOD=∠EOF．

∴∠OFE=∠OAD．

∵∠OAD=90°，

∴∠DFE=90°，即BD⊥CE．

（3）结论BD=CE成立，结论BD⊥CE不成立．理由如下：

由旋转得：∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC．

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

延长DB交CE于M，BD与AE交于点N．

∵△ABD≌△ACE，∴∠MEA=∠BDA．

∵∠ENM=∠DNA，∴∠EMN=∠EAD．

∵∠EAD≠90°，∴∠EMN≠90°，∴BD⊥CE不成立．