Question

7．阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，在图2中作出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E．（作出一个即可，不限作图工具）
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，则S_△AME：S_△MEC=1：3（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出BE和BC的数量关系，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方从而可求出解．

解答 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：


（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=tan30°，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AME：S_△MEC=1：3，
故答案为：1：3．

点评 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．