Question

【题目】阅读材料：

如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式： ，当且仅当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．

实例剖析：

已知x＞0，求式子的最小值．

解：令a＝x，b＝，则由，得当且仅当时，方程两边同时乘x，得到，解得x＝2，式子有最小值，最小值为4．

学以致用：

根据上面的阅读材料回答下列问题：

（1）已知x＞0，则当x＝__________时，式子取到最小值，最小值为：_______________

（2）用篱笆围一个面积为100m的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

（3）已知x＞0，则x取何值时，式子取到最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】(1) ，；(2) 当矩形的长、宽各为10米时，所用篱笆最短，最短为40米；(3) 当x=3时，y取得最小值为4．

【解析】

(1)令a=2x，b=，这两个数都是正数，根据阅读材料就可以直接得到结果；

(2)设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解；

(3)将原式整理成，根据阅读材料直接求解最小值即可．

解：(1)令a=2x，b=，

已知，

则，

当且仅当时，即，式子有最小值．

(2) 设这个矩形的长为x米，所用篱笆的长度为y米，

根据题意得：，

由上述性质可知：

∵，

∴，

此时，

解得：x=10，

∴当矩形的长、宽各为10米时，所用篱笆最短，最短为40米．

(3) ，

，

当时，y取得最小值为4，

∴当x=3时，y取得最小值为4．