Question

△ABC的三边长皆为整数，且a+bc+b+ca=24，当△ABC为等腰三角形时，它的面积的答案有

1. A.
   1种
2. B.
   2种
3. C.
   3种
4. D.
   4种

Answer 1

C
分析：先把已知的式子左边因式分解，得（a+b）（c+1）=24，再利用△ABC的三边长皆为整数，那么可知24=1×24=2×24=3×8=4×6，于是分4种情况讨论，并结合三角形三边的关系，最后确定不同三角形的个数，从而求出答案．
解答：∵a+bc+b+ca=24，
∴a（c+1）+b（c+1）=24，
即（a+b）（c+1）=24，
又∵△ABC的三边长皆为整数，
24=1×24=2×12=3×8=4×6，
①由于a+b＞c＞0，∴c+1=1，a+b=24，其中求出c=0，不合题意，故舍去；
②由于a+b＞c＞0，∴c+1=2，a+b=12，
解得c=1，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，则2c=2＜11，不能构成三角形，
故c只能是底边，
∴a=b=6；
③由于a+b＞c＞0，∴c+1=3，a+b=8，
解得c=2，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，则2c=4＜6，不能构成三角形，
故c只能是底边，
∴a=b=4；
④由于a+b＞c＞0，∴c+1=4，a+b=6，
解得c=3，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，则2c=6＞3，能构成三角形，
故c能是底边，也能是腰，
∴a=b=3或a=b=3；（此时的三角形是等边三角形）
∴能组成3个不同的三角形，面积的答案有3种．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系、分类讨论．分类讨论后一定要进行验证这是正确解答本题的关键．