Question

如图，BC是半圆O的直径，点G是半圆上任意一点，点A为的中点，AD⊥BC于D且交BG于E，AC与BG交于点F．求证：BE=AE=EF．

Answer 1

证明：连接AB．
∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C．
∵点A为的中点，
∴=，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AE=BE．
∵∠C=∠ABF，
∴Rt△ABF∽Rt△ACB，
∴AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，
∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EH=BE．
分析：连接AB，由圆周角定理知：AB⊥AC，在Rt△ABC中，AD⊥BC，易证∠BAD=∠C，根据点A为的中点可知=，可得∠ABE=∠C，所以∠ABE=∠BAD，即AE=BE；再根据∠C=∠ABF，可得Rt△ABF∽Rt△ACB，故AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，再根据∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，可得出∠EAF=∠AFB，由此可得出结论．
点评：本题考查的是圆周角定理，涉及到等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强．