Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，BP与⊙O交于点C，D为AP的中点．
求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连结OC、OD、AC，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，由D为AP的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得DC=DA，则可根据“SSS”判断△OAD≌△OCD，则∠OAD=∠OCD；再根据切线的性质由AP是⊙O的切线得到∠OAD=90°，所以∠OCD=90°，OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到CD是⊙O的切线．

解答：证明：连结OC、OD、AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP为直角三角形，
而D为AP的中点，
∴DC=DA，
在△OAD和△OCD中，

OA=OC OD=OD DA=DC

，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD，
∵AP是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和三角形全等的判定与性质．