Question

如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F．
（1）当AE=6时，求AF的长；
（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；
（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）欲求AF的长可先求CF长．知道BD、，能求BE、CD，再证△BDE∽△CFD即可；
（2）（3）求BE的长关键弄清圆与圆位置关系、线与线位置关系，再运用圆心距与半径关系容易解答．

解答：解：（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB．
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∴△CDF∽△BED．（1分）
∴

CF

BD

=

CD

BE

．
即

CF

4

=

8

10-6

．（1分）
∴CF=8．
∴AF=AC-CF=10-8=2．（1分）

（2）分外切和内切两种情况考虑：
当⊙C和⊙A外切时，点F在线段CA上，且AF=AE，
∵AB=AC，
∴BE=CF．（1分）
∵

CF

BD

=

CD

BE

，
∴

BE

BD

=

CD

BE

．
即BE²=BD•CD=4×8=32，
∴BE=4

2

．（1分）
当⊙C和⊙A内切时，点F在线段AC延长线上，且AC=CF-AE，
∴BE=AB-AE=10-AE，CF=AC+AE=10+AE．（1分）
∵

CF

BD

=

CD

BE

，

10+AE

4

=

8

10-AE

，（1分）
解得AE=2

17

或AE=-2

17

（舍去），
∴BE=10-2

17

．（1分）
∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为4

2

或10-2

17

．


（3）取边AC中点O，过点O分别作OG⊥DE，OQ⊥BC，垂足分别为G、Q；
过点A作AH⊥BC，垂足为H．（1分）
∵⊙O和线段DE相切，
∴OG=

1

2

AC=5．
在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC=

CH

AC

=

6

10

=

3

5

，
在Rt△CQO中，∠CQO=90°，
∵cosC=

CQ

CO

，
∴CQ=COcosC=5×

3

5

=3．
∴DQ=8-3=5．
∴OG=DQ．（1分）
∵OD=DO，
∴Rt△OGD≌Rt△DQO．
∴∠GOD=∠QDO．
∴OG∥BC．
∴∠EDB=∠OGD=90°．（1分）
∴cosB=

BD

BE

=cosC=

3

5

．
∴BE=

4

3 5

=

20

3

．（3分）
∴当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，BE=

20

3

．

点评：此题考查相似三角形的判定和性质及圆与圆的位置关系．