Question

【题目】在△ABC中，，AC=4，BC=3，点D是斜边AB的中点． 以点D为顶点作，射线DM、DN分别交边AC、CB于点E、F．

特例

（1）如图1，若，不添加辅助线，图1中所有与△ABC相似的三角形为 ， ；

操作探究：

（2）将（1）中的从图1 的位置开始绕点D按逆时针方向旋转，得到．如图2，当射线分别交边于点时，求的值；

拓展延伸：

（3）如图3，中，，AC=m，BC=n，点D是斜边AB的中点，以点D为顶点作，射线分别交边的延长线于点，则的值为_______________．（用含的代数式表示，直接回答即可）

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）证得四边形DECF为矩形，则DF∥AC，则，，又根据三角形中位线的性质，即可求得的值；

（2）由旋转可知∠∠，可证得，由（1）的结论可求得答案；

（3）作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得，，再证得，即可求解．

（1）∵DE∥BC，∠ACB=∠EDF=，

∴四边形DECF为矩形，

∴DF∥AC，

∴，；

∵点D是斜边AB的中点，

∴，，

∴，

故答案为：，，；

（2）由旋转可知：∠∠，且∠∠，

∴，

∴，

由（1）得，

∴；

（3）作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

∵点D是斜边AB的中点，

∴，，

∵DG⊥AC，DH⊥BC，∠ACB=，

∴四边形DECF为矩形，

∴∠GDH=，

又∵∠MDN=，

∴∠GDE+∠EDH=∠HDF+∠EDH=，

∴∠GDE=∠HDF，

又∵∠DGE=∠DHF=，

∴，

∴．