Question

【题目】在中，已知， ，于点，点在直线上，，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点．

(1)如图，若点在线段上，线段和之间的数量关系是 ，位置关系是 ；

(2)在(1)的条件下，当点在线段上，且时，求证：；

(3)当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，，理由见解析

【解析】

（1）通过证△AEC≌△CMB，得到AE=CM并得到∠ACM+∠BCM=90°，进而推导出AE⊥CM；

（2）如图1，在Rt△ABC中，求得AB=12，再通过勾股定理及中位线定理，可得到FM=FG=5；

（3）将绕点逆时针旋转90°得，构造全等△三角形（），再证，最后在Rt△PBF中利用勾股定理得求GF，进而求得AF.

(1) 如图1，延长交于点H．

∵， ，于点，

∴，．

∵是的中点，∴．∴

∴．

在和中，

∴（）．

∴，．∵

∴．

∴，∴．

（2）解:如图1，过点作，且，连接CG，，延长交于点H．

∵，，

∴，．

∴．

∵，．

∵是的中点，∴，∴，

∵，∴， ，

∴．

∵，

∴．

∴．

在和△BCM中

∴，

∴．

由(1)，知， ∴，

∴．

(3)解：存在．．理由如下:

方法一:如图2，取中点，连接CG并延长交于点H，将绕点逆时针旋转90°得，连接，则．可证，∴．

∵，

∴，

∴．

∴．

∴．

由旋转，知，∴，

∴．

又∵，，∴，

∴．

设，则，．

在Rt△PBF中， ，解得．

∴．

方法二:如图3，作于点H．

∴．

∵，∴．

∴．

∵，，

∴，

．

∵，

∴．

∵，∴DE=3．

在Rt△ADE中，由勾股定理，得，

∵，∴．

∵，∴．

∴，

∴，即，解得．

设，则．

在中，由勾股定理，得

．

∵，，

∴，

∴，即，

解得，（舍去）．

∴．∴．