Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B、P三点的坐标分别为（2，0）、（4，1）、（3，-1），
（1）若将线段AB绕点P顺时针旋转90°，请在图中画出经旋转变换后的像A₁B₁；
（2）直接写出B₁点坐标和∠PBB₁的度数；
（3）若将线段AB绕点P旋转一周，试计算出线段AB扫过的面积．

Answer 1

解：（1）如图所示：
；

（2）根据图象可以得出：B₁（5，-2）；
根据将线段AB绕点P顺时针旋转90°，
故∠BPB₁=90°，PB=PB₁，
则∠PBB₁=45°；

（3）过P作PE⊥AB，如图，
线段AB绕点P旋转一周，则边AB扫过的图形是以PE和PB为半径的两圆形成的圆环，
∵S_△APB=4-×1×2-×1×2-×1×1=，
S_△APB=×PE×AB=××PE，
解得：PE=，BP=，
故线段AB扫过的面积=π（PB²-PE²）=π（）²-π（）²=．
分析：（1）根据图形的旋转变换性质，将A，B分别旋转即可得出答案；
（2）利用旋转变换的性质得出，∠BPB₁=90°，PB=PB₁，则∠PBB₁=45°；
（3）计算出线段AB扫过的面积，根据边AB扫过的图形是圆环，它的面积为大圆的面积减去小圆的面积，其中小圆半径和大圆半径，利用圆的面积公式计算即可．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，得出边AB扫过的图形是圆环是解题关键．