Question

如图，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC，可得下列结论：①∠PCB=30°；②点P的坐标是（

3

2

，

3

2

）；③若P、C两点在抛物线y=-

4

3

x2+bx+c上，则b的值是-

3

，c的值是1；④在③中的抛物线CP段（不包括C、P两点）上，存在一点Q，使四边形QCAP的面积最大，最大值为

9 3

16

．其中正确的有（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根据OC、OA的长，可求得∠OCA=∠ACP=60°，∠BCA=∠OAC=30°，由此可判断出∠PCB的度数，从而确定①是否正确；
过P作PD⊥OA于D，在Rt△PAD中，易知PA=OA=

3

，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AD、PD的长，进而可得到点P的坐标，从而判定出②是否正确；
将P、C坐标代入抛物线的解析式中，即可得到b、c的值，从而确定③是否正确；
过Q作y轴的平行线，交CP于M，易求得直线CP的解析式，先设出点M的横坐标，根据抛物线和直线CP的解析式，可表示出Q、M的纵坐标，从而得到QM的长，以QM为底，C、P横坐标差的绝对值为高，可得到△QCP的面积，而△PAC的面积与△CAO的面积，由△PAC和△COA的面积和即可得到关于四边形QCAP的面积与M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形的最大面积，从而确定④是否正确．

解答：解：在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根据折叠的性质知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
①∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°，故①正确；
②过P作PD⊥OA于D；
Rt△PAD中，∠PAD=60°，AP=

3

；
∴OD=AD=

3

2

，PD=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

），故②正确；
③将P、C代入抛物线的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 c=1

，
解得

b= 3 c=1

；
故③错误；
④过Q作QM∥y轴，交CP于M；
由③知y=-

4

3

x²+

3

x+1，
由P（

3

2

，

3

2

），C（0，1）易求得直线PC：y=

3

3

x+1；
设M（a，

3

3

a+1），
则Q（a，-

4

3

a²+

3

a+1），则：
QM=-

4

3

a²+

3

a+1-（

3

3

a+1）=-

4

3

a²+

2 3

3

a，
故S_△QPC=

1

2

QM•|x_P|=

1

2

×（-

4

3

a²+

2 3

3

a）×

3

2

=-

3

3

a2+

1

2

a，
由于S_△APC=S_△AOC=

3

2

，
故四边形QCAP的面积S=S_△QPC+S_△APC=-

3

3

a²+

1

2

a+

3

2

，
则Smax=

4×(- 3 3 )× 3 2 - 1 4

4×(- 3 3 )

=

9 3

16

；
故④正确；
所以正确的结论为①②④．
故选B．

点评：此题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的应用等知识；类似于④题求面积最值问题时，通常将面积问题转化二次函数最值的问题来求解．