Question

如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC于点Q。

（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的长。

Answer 1

解：（1）证明：连BE，
∵AF平分∠BAC，AF⊥EC，
∴AC=AH，
∴∠ACH=∠AHC=∠EHB，
∴，
∴∠EBD=∠ECB，
∴∠ECB+∠ACE=∠EBO+∠EHB=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC与⊙O相切；
（2）AC=6，AB=8，
∴AB=10，
∴AH=6，BH=4，
∵∠EBD=∠ECB，
∴△EBH∽△ECB，
∴，
设EB=x，则EC=2x，
∴x²+（2x）²=BC²=8²，
∴x=，
∴EC=。