Question

如图，直线y=x与直线y=

1

4

x分别与双曲线y=

k

x

(x＞0)交于A、B两点，S_△OAB=3，则k=

4

．

Answer 1

分析：作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，根据点A、B分别在直线y=x和直线y=

1

4

x上，且它们都在y=

k

x

上，则设点A的横坐标为a，则纵坐标为y=a，且k=a•a=a²，a=

k

；点B的横坐标为b，则纵坐标为y=

1

4

b，且k=b•

1

4

b=

1

4

b²，即b=2

k

，由于S_△AOD+S_梯形ABCD=S_△AOB+S_△BOC，根据k的几何意义得到S_△AOD=S_△BOC=

1

2

k，于是S_梯形ABCD=3，
即

1

2

（

1

4

b+a）（b-a）=3，展开后得到ab=8，然后把a=

k

，b=2

k

代入计算即可得到k的值．

解答：解：作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，
设点A的横坐标为a，则纵坐标为y=a，且k=a•a=a²，a=

k

；点B的横坐标为b，则纵坐标为y=

1

4

b，且k=b•

1

4

b=

1

4

b²，即b=2

k

，
∵S_△AOD+S_梯形ABCD=S_△AOB+S_△BOC，
而S_△AOD=S_△BOC=

1

2

k，S_△OAB=3，
∴S_梯形ABCD=3，
∴

1

2

（

1

4

b+a）（b-a）=3，
∴

1

4

b²-a•

1

4

b+ab-a²=6，
∴k+

3

4

ab-k=6，
∴ab=8，
∵a=

k

，b=2

k

，
∴

k

•

1

2

k

=8，
∴k=4．
故答案为4．

点评：本题考查了反比例函数y=

k

x

（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=

k

x

（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．