Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．

（1）当点落在边上时，求的值；

（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析

【解析】

（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；

（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；

（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．

（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，

设直线AC的函数解析式为y=kx+b，

将点A、C坐标代入，得：

，解得：，

∴直线AC的函数解析式为，

当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），

将点H代入，得：

，解得：t=1；

（2）存在，，使得．

根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，

设直线AB的函数解析式为y=mx+n，

将点A、B坐标代入，得：

，解得：，

∴直线AC的函数解析式为，

当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，

当点H落在AB边上时，将点H代入，得：

，解得：；

此时重叠的面积为，

∵﹤，∴﹤t﹤5，

如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,

将y=t-3代入得：，

解得：x=2t-10，

∴点S(2t-10，t-3)，

将x=3-t代入得：，

∴点T，

∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，

,

所以重叠面积S==4--=，

由=得：，﹥5(舍去)，

∴；

（3）可能，≤t≤1或t=4．

∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，

∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,

易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；

当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；

当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，

∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；

当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；

当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），

当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，

当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,

当时，点都在正方形内（含边界），

综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．