Question

【题目】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，，．

①求点的坐标；

②判断的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①点的坐标；②是等腰直角三角形，理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）将点代入即可得；

（2）①先根据二次函数的平移规律得出抛物线的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得；

②先根据抛物线的表达式求出点B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得；

（3）设点P的坐标为，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：①当时，先根据等腰直角三角形的性质、线段中点的点坐标求出点P的坐标，再代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；②当时，先根据平行四边形的判定得出四边形BCDP是平行四边形，再根据点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同可求出点P的坐标，然后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；③当时，先根据等腰直角三角形的性质得出点P在在线段BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出BD的垂直平分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的距离公式和可求出点P的坐标，最后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可．

（1）将点代入抛物线的表达式得：

解得

则抛物线的表达式为

故抛物线的表达式为；

（2）①由二次函数的平移规律得：抛物线的表达式为

即

联立，解得

则点的坐标为；

②对于

当时，，解得或

则点B的坐标为

当时，，则点C的坐标为

由两点之间的距离公式得：

则，

故是等腰直角三角形；

（3）抛物线的表达式为

设点P的坐标为

由题意，分以下三种情况：

①当时，为等腰直角三角形

是等腰直角三角形，，

点D是CP的中点

则，解得

即点P的坐标为

对于抛物线的表达式

当时，

即点在抛物线上，符合题意

②当时，为等腰直角三角形

，

，

四边形BCDP是平行四边形

点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同

点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度

即点P的坐标为

对于抛物线的表达式

当时，

即点在抛物线上，符合题意

③当时，为等腰直角三角形

则点P在线段BD的垂直平分线上

设直线BD的解析式

将点代入得：，解得

则直线BD的解析式

设BD的垂线平分线所在直线的解析式为

点的中点的坐标为，即

将点代入得：，解得

则BD的垂线平分线所在直线的解析式为

因此有，即点P的坐标为

由两点之间的距离公式得：

又，为等腰直角三角形

则

解得或

当时，，即点P的坐标为

当时，，即点P的坐标为

对于抛物线的表达式

当时，

即点不在抛物线上，不符合题意，舍去

当时，

即点不在抛物线上，不符合题意，舍去

综上，符合条件的点P的坐标为或．