题目内容
已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．
【答案】分析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三点代入即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式；
（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的长，进而可得出结论；
（3）先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：（i）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S△APD=
S梯形COAB，得
OD•y=
×56故可求出y的值，由S△APD=
AP•DH=
t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，进而得出结论；
（ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S△APD=
S梯形COAB，得
AD•y=
×56故可求出y的值，此时t=10+4+（8-
）=16
，由此可得出点P2的坐标．
解答：
解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
依题意，得
，
解得
，
故所求抛物线的解析式为y=-
x2+
x；
（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB=
=10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=
=8，DH=
OF=4，
∴S=
AP•DH=
t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵
=
，S△ABD=
AD•BE=
×5×8=20．
∴
=
，
∴S=2t（0≤t≤10）；
（3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，
S梯形COAB=
（BC+OA）•OC=
×（4+10）×8=56，
（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），
由S△APD=
S梯形COAB，
得
OD•y=
×56，解得y=
，
由S△APD=
AP•DH=
t×4=14，得t=7．
此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）2+y2=AP2，即（10-x）2+（
）2=72，
解得x=
，即在7秒时有点P1（
，
）满足题意；
（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S△APD=
S梯形COAB，得
AD•y=
×56，解得y=
，
此时t=10+4+（8-
）=16
． 即在t=16
秒时，有点P2（0，
）满足题意；
综上，在7秒时有点P1（
，
），在16
秒时有点P2（0，
）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．
点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出三角形及梯形的高是解答此题的关键．
（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的长，进而可得出结论；
（3）先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：（i）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S△APD=
S梯形COAB，得OD•y=×56故可求出y的值，由S△APD=AP•DH=t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，进而得出结论；（ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S△APD=
S梯形COAB，得AD•y=×56故可求出y的值，此时t=10+4+（8-）=16，由此可得出点P2的坐标．解答：
解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）依题意，得
，解得
，故所求抛物线的解析式为y=-
x2+x；（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB=
=10．解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=
=8，DH=OF=4，∴S=
AP•DH=t×4=2t（0≤t≤10）；解法二：∵
=，S△ABD=AD•BE=×5×8=20．∴
=，∴S=2t（0≤t≤10）；
（3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，
S梯形COAB=
（BC+OA）•OC=×（4+10）×8=56，（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），
由S△APD=
S梯形COAB，得
OD•y=×56，解得y=，由S△APD=
AP•DH=t×4=14，得t=7．此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）2+y2=AP2，即（10-x）2+（
）2=72，解得x=
，即在7秒时有点P1（，）满足题意；（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S△APD=
S梯形COAB，得AD•y=×56，解得y=，此时t=10+4+（8-
）=16． 即在t=16秒时，有点P2（0，）满足题意；综上，在7秒时有点P1（
，），在16秒时有点P2（0，）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出三角形及梯形的高是解答此题的关键．
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