Question

6．如图，△ABC是等边三角形，E，D分别是边AB，BC上的点，AE=BD，AD和CE交于点P，CQ⊥AD于点Q，若CP=8，PQ=4．

Answer 1

分析 先利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，则利用“SAS”可证明△ABD≌△CAE，所以∠BAD=∠ACE，再证明∠QPC=∠EAC=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求PQ的长．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠B=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠QPC=∠PCA+∠PAC=∠PAE+∠PAC=∠EAC=60°，
∵CQ⊥AD，
∴∠PQC=90°，
在Rt△PQC中，∵∠PCQ=90°-60°=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$×8=4．
故答案为4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等边三角形的性质．