Question

【题目】在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP的长，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ的长；

（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理表示出PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，由垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，即可求出PQ长的最大值．

试题解析：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ==；

（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ==，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=OB=，∴PQ长的最大值为=．