题目内容
实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
(1)我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1＋3＝4(如图①)；
(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在(1)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1＋3×2＝7(如图②)
(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在(2)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1＋3×3＝10(如图③)：
……
(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在(9)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1＋3×(10－1)＝28(如图⑩)
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球：
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是________；
(2)若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是________；
(3)若要确保摸出的小球至少有n个同色(n＜20)，则最少需摸出小球的个数是________．
模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球：
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是________．
(2)若要确保摸出的小球至少有n个同色(n＜20)，则最少需摸出小球的个数是________．
问题解决：(1)请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；
(2)根据(1)中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．
解析：
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解：(1)6； 1分 (2)11 2分 (3)1＋5(n－1)＝5n－4(个) 3分 (1)1＋m 4分 (2)1＋m(n－1)＝mn－m＋1(个) 6分 问题解决：(1)在不透明口袋中装有18种颜色的小球各40个(除颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球，要确保摸出的球至少有10人颜色相同，则最少需摸出小球的个数是多少？ 8分 (2)答：全校最少需抽取163名学生． 10分 1＋18(10－1)＝163(名) |
