题目内容

如图，直线y=-
4
3
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
3
2
个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，那么S0=______．
（1）令y=0，则x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4．
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴
0=9a+3b+4
0=a-b+4
，
解得a=-
4
3
，b=
8
3
．
∴所求二次函数的关系式为y=-
4
3
x2+
8
3
x+4．

（2）∵y=-
4
3
x2+
8
3
x+4
=-
4
3
（x-1）2+
16
3

∴顶点M的坐标为（1，
16
3
）
过点M作MF⊥x轴于F
∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM
=
1
2
×（3-1）×
16
3
+
1
2
×（4+
16
3
）×1
=10
∴四边形AOCM的面积为10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
设点E的坐标为（x1，y1）
∴
|x1|
3
=
4t-4
5
，
∴|x1|=
12t-12
5

∵DE∥OC，
∴
12t-12
5
=
3
2
t
∴t=
8
3

∵t=
8
3
＞2，不满足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
3+4+5
3
2
+4
=
24
11
（秒）
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=
1
2
×
3
2
t•4t=3t2；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x2，y2）
∴
|y2|
4
=
5-(4t-4)
5
，
∴|y2|=
36-16t
5

∴S=
1
2
×
3
2
t×
36-16t
5
=-
12
5
t2+
27
5
t；
（ⅲ）当2＜t＜
24
11
时，
设点E的坐标为（x3，y3），类似ⅱ可得|y3|=
36-16t
5

设点D的坐标为（x4，y4）
∴
|y4|
4
=
3
2
t-3
5
，
∴|y4|=
6t-12
5

∴S=S△AOE-S△AOD
=
1
2
×3×
36-16t
5
-
1
2
×3×
6t-12
5

=-
33
5
t+
72
5
．
③当0＜t≤1时，S=
1
2
×
3
2
t•4t=3t2，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=-
12
5
t2+
27
5
t．函数的最大值是：
243
80
，
当2＜t＜
24
11
时，S=-
33
5
t+
72
5
，0＜S＜
6
5
．
∴S0=
243
80
．
练习册系列答案
相关题目
已知平面直角坐标系xOy，一次函数y=
3
4
x+3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y=
3
2
x的图象上，且MO=MA．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，M．求这个二次函数的解析式．
一只排球从P点打过球网MN，已知该排球飞行距离x（米）与其距地面高度y（米）之间的关系式为y=-
1
12
x2+
2
3
x+
3
2
（如图）．已知球网MN距原点5米，运动员（用线段AB表示）准备跳起扣球．已知该运动员扣球的最大高度为
9
4
米，设他扣球的起跳点A的横坐标为k，因球的高度高于他扣球的最大高度而导致扣球失败，则k的取值范围是______．
如图，抛物线的顶点坐标是(
5
2
，-
9
8
)，且经过点A（8，14）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴上的任意一点，分别连接AC、BC．试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．
已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE．
（1）求证：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函数y=-x2+px+q的图象经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B的横坐标等于2时，四边形OECB的面积是
11
4
，求这个二次函数的解析式．
如图，在Rt△ABC中，点P由C点出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，已知AC=4cm，BC=12cm，
（1）若记Q点的移动时间为t，试用含有t的代数式表示Rt△PCQ与四边形PQBA的面积；
（2）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求最小值．
如图，水平地面的A、B两点处有两棵笔直的大树相距2米，小明的父亲在这两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子．
（1）请完成如下操作：以AB所在直线为x轴、线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题中提供的信息，求绳子所在抛物线的函数关系式；
（2）求绳子的最低点离地面的距离．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=2x2+
1
4
的顶点为M，直线y2=x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1=2x2+
1
4
和直线y2=x于点A，点B．
（1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
（3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+
1
4
，求a，b，c的值．
如图，正方形ABCD的边长为1，当点E在边BC上运动时（不与正方形的顶点重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE=x，CF=y，求下列问题：
（1）证明△ABE∽△ECF；
（2）求出y关于x的函数关系式；
（3）试求当x取何值时？y有最大或最小值，是多少？

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网