题目内容
已知△BCD中，BC=BD，以BD为直径⊙O的交BC于E，交CD于M．
（1）如图1，求证：
=
．
（2）如图2，过B作BA∥CD交⊙O于A，若CE=2，CM=
，求AE的长．
（1）如图1，求证：
 |
| DM |
|
| EM |
（2）如图2，过B作BA∥CD交⊙O于A，若CE=2，CM=
| 6 |
（1）连接BM，如图1所示，
∵BD为圆O的直径，
∴∠BMD=90°，即BM⊥CD，
∵BD=BC，
∴BM平分∠DBC，即∠DBM=∠CBM，
∴
=
；
（2）连接AD，EM，DE，如图2所示，
∵BD为圆O的直径，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，CE=2，DC=2CM=2
，
根据勾股定理得：DE=
=2
，
∵∠DEC=∠BMC=90°，∠C=∠C，
∵△DEC∽△BMC，
∴
=
，即BM=
=
，
∵AB∥DC，
∴∠BAD=∠ADM=90°，
∵∠BMD=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∴AB=DM，
∴
=
，
∵
=
，
∴
=
，
∴
+
=
+
，即
=
，
∴AE=BM=
．
∵BD为圆O的直径，
∴∠BMD=90°，即BM⊥CD，
∵BD=BC，
∴BM平分∠DBC，即∠DBM=∠CBM，
∴
|
| DM |
|
| EM |
（2）连接AD，EM，DE，如图2所示，
∵BD为圆O的直径，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，CE=2，DC=2CM=2
| 6 |
根据勾股定理得：DE=
| DC2-CE2 |
| 5 |
∵∠DEC=∠BMC=90°，∠C=∠C，
∵△DEC∽△BMC，
∴
| DE |
| EC |
| BM |
| MC |
2
| ||||
| 2 |
| 30 |
∵AB∥DC，
∴∠BAD=∠ADM=90°，
∵∠BMD=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∴AB=DM，
∴
|
| AB |
|
| DM |
∵
|
| DM |
|
| EM |
∴
|
| AB |
|
| EM |
∴
|
| AB |
|
| EB |
|
| EM |
|
| EB |
|
| AE |
|
| BM |
∴AE=BM=
| 30 |
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