Question

（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

（1）y=－+x+2；（2）E点坐标为（0，2），（3，2）．

【解析】

试题分析：（1）首先设出函数的解析式，然后利用待定系数法进行求解；（2）首先根据题意判定△ABE只能是以点E为直角顶点的三角形，然后求出BC的长度，根据三角形相似求出点E的坐标.

试题解析：（1）∵抛物线经过点C（0,2） ∴设该抛物线的解析式为y=a+bx+2

将A、B两点坐标代入解析式得： 解得：

∴抛物线的解析式为：y=－+x+2

（2）存在

由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能

是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==．

在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4， ∴h=．

∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y）， ∴=，∴y=±2

将y=2代入抛物线y=－+x+2，得=0，=3．

当y=﹣2时，不合题意舍去．

∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

考点：待定系数法求函数解析式、三角形相似的应用.

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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