Question

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，BO＝4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．

(1)如图12-1，当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；

(2)在(1)问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移，如图12-2，线段EF与线段OO′始终相等吗？请证明你的结论；

 (3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y．当时，请直接写出y与x的函数关系式.

Answer 1

解：(1)设OD＝，（）过E作EH⊥OD于H，            1分

在Rt△OEH中，，

OE =                                              2分

∴ E点坐标为(，).                              3分

∵ ∠ABO＝30°，∠ODE＝60°，

∴ ∠DEB＝30°.

∴ ∠OEB＝90°.

∵ BC＝4，∴ OE＝a＝2.                                5分

∴ E(1，).                                           6分

(2)EF＝OO′.                                               7分

理由如下：

∵ ∠ABO＝30°，∠EDO＝60°，

∴ ∠ABO＝∠DFB＝30°.

∴ DF＝DB.                                                9分

∴OO′＝OB - DO′- DB

= 4－2－DB

＝2－DB

＝2－DF

＝ED－FD

＝EF.                                            10分

(3) .