Question

2．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D=135°；④BB′=BC；⑤AB²=AE•AF．其中正确的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AB′F关于AE对称，即得AB′=AD；
②连接EB′，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出∠BB′C为直角三角形；
③假设∠ADB′=75°成立，则可计算出∠AB′B=60°，推知△ABB′为等边三角形，B′B=AB=BC，与B′B＜BC矛盾；
④根据直角三角形的性质即可得到结论；
⑤根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：①∵点B′与点B关于AE对称，
∴△ABF与△AB′F关于AE对称，
∴AB=AB′，
∵AB=AD，
∴AB′=AD．故①正确；

②如图，连接EB′．
则BE=B′E=EC，
∠FBE=∠FB′E，
∠EB′C=∠ECB′．
则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，
即△BB′C为直角三角形．
∵FE为△BCB′的中位线，
∴B′C=2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，
∴$\frac{FE}{FB′}$=$\frac{EB′}{AB′}$，
即$\frac{FE}{FB′}$=$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故FB′=2FE．
∴B′C=FB′．
∴△FCB′为等腰直角三角形．
故②正确．

③设∠ABB′=∠AB′B=x度，
∠AB′D=∠ADB′=y度，
则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°=360°，
即x+y=135度．
又∵∠FB′C=90°，
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．
故③正确．

④∵∠BB′C=90°，
∴BB′＜BC，
故④错误；
⑤∵∠ABE=90°，BF⊥AE，
∴∠ABE=∠AFB=90°，
∵∠BAF=∠BAF，
∴△ABF∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴AB²=AE•AF；
故⑤正确，
故选：C．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．