Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点的坐标为，点的坐标为，顶点在第一象限内，抛物线（常数）的顶点为正方形对角线上一动点．

（1）当抛物线经过两点时，求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与直线相交于另一点（非抛物线顶点，且在第一象限内），求证：长是定值；

（3）根据（2）的结论，取的中点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；

（2）证明见解析；

（3）最小值为．

【解析】

（1）把点和点坐标代入得到关于的方程组，然后解方程组即可；

（2）先利用正方形性质得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，再求出顶点的坐标为，然后把代入得到，设，，则为的两根，利用根与系数的关系得到，，然后利用两点间的距离公式计算，从而判定长是定值；

（3）取的中点，连接交于，如图，则，，则过点作的平行线交于，利用四边形为平行四边形得到，所以，利用两点之间线段最短判断此时的值最小，利用勾股定理可计算出它的最小值．

（1）解：把，代入

得，解得，

所以抛物线解析式为；

（2）证明：四边形为正方形，

而，

，

设直线的解析式为，

把，代入得，解得，

直线的解析式为，

，

顶点的坐标为，

把代入得的坐标，

即，

设，，

则为的两根，

整理为，

，，

，

，

即长是定值；

（3）取的中点，连接交于，如图，

，，

，

，

过点作的平行线交于，

四边形为平行四边形，

，

点与点关于对称，

，

，

此时的值最小，最小值为．