Question

已知实数a，b满足a²+b²=1，则a⁴+ab+b⁴的最小值为

1. A.
   
2. B.
   0
3. C.
   1
4. D.
   

Answer 1

B
分析：利用完全平方公式把a⁴+ab+b⁴配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a-b）²=a²-2ab+b²求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
解答：∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2|ab|≤a²+b²=1，
∴-≤ab≤，
令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-）²+，
当-≤ab≤时，y随ab的增大而增大，
当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab=-时，a⁴+ab+b⁴的最小值，为-2（--）²+=-2×+=0，
即a⁴+ab+b⁴的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-，此时a=-，b=，或 a=，b=-．
故选B．
点评：本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．