Question

【题目】如图，已知为的直径，为延长线上的动点，过点作的切线，为切点， 为上的动点，连接交于点．

（1）当平分时，求证：；

（2）当是的中点时，求证：；

（3）当，且的周长被平分时，设，试求的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）连接．根据切线定义可得：，由角平分线的性质可得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：，根据角的和差即可得出结论；

（2）过作交于．由，得到，由相似三角形的性质可得：．根据中点的定义及等量代换即可得出结论；

（3）设，则．由余弦的定义求出∠COP=60°，从而得到△OBC为等边三角形，进而求出BC、AC的长，得到△ABC的周长，根据的周长被平分，表示出CE，BE，AM，由（2）知，，从而求出．

（1）连接．

切于，，

∴．

∵平分，

．

，．

，，

．

（2）过作交于．

，，

．

为的中点，，，

（3）设，则．

，

，，

为等边三角形，

，

．

的周长被平分，，即，

，，

由（2）知，，

，

，

即，

，即．