Question

如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且AB=4AM，BC=

16

3

BN．
（1）△ADM和△BMN相似吗？并说明理由．
（2）求∠DMN的度数．

Answer 1

分析：（1）由已知AB=4AM，BC=

16

3

BN，推出

AD

AM

=4，AB=

4

3

BM，

BM

BN

=4，

AD

AM

=

BM

BN

=4，所以△ADM和△BMN相似；
（2）由（1）中△ADM和△BMN相似，推出∠ADM=∠BMN，再由Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°得∠BMN+∠AMD=90°，从而得出∠DMN=90°．

解答：解：（1）△ADM和△BMN相似，
∵在正方形ABCD中，且AB=4AM，BC=

16

3

BN，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠MBN=90°
∴

AD

AM

=4，AB=

4

3

BM，
∵△MBN∽△DAM，
∴

BM

BN

=

AD

AM

=4，
∴

BM

BN

=4，

AD

AM

=

BM

BN

=4，即

AD

BM

=

AM

BN

=4，
又∵∠DAM=∠MBN=90，
∴△ADM∽△BMN；

（2）由（1）得∠ADM=∠BMN，
又∵在Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=90°．

点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知AB=4AM，BC=

16

3

BN．推出

AD

AM

=

BM

BN

=4，即

AD

BM

=

AM

BN

=4；再由三角形相似得出∠ADM=∠BMN，推出∠BMN+∠AMD=90°．