Question

如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=16，BD=20，一动点P从B向D运动，问当P离B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？试求出所有符合条件的P点的位置．

Answer 1

解：设BP=x，BD=20，则PD=BD-BP=20-x，
分两种情况考虑：
假设△PAB∽△PCD，有=，
又AB=6，CD=16，
∴=，即6（20-x）=16x，
解得：x=；
假设△PAB∽△CPD，有=，
∴=，即x（20-x）=96，
整理得：（x-12）（x-8）=0，
解得：x₁=12，x₂=8，
综上，当P离B的距离为或8或12时，△PAB与△PCD是相似三角形．
分析：设BP=x，由BD-BP表示出PD，分两种情况考虑：当△PAB∽△PCD时；当△PAB∽△CPD时，分别由相似得比例，将各自的值代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PB的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定，利用了分类讨论的思想，相似三角形的判定方法为：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．