Question

【题目】定义：两直角边比为1：2的直角三角形叫做和合三角形．

（1）如图1，△ABC中，∠C= ，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于点D，说明△ACD是和合三角形；

（2）如图2，和合△ABC中，∠C= ，AC= ，点D是边AB中点，点E是边AC上一动点，在直线DE下方构造矩形DEFG，使直线FG始终经过BC中点M，已知△ABC面积为4，求矩形DEFG的面积；

（3）如图3，扇形OAB中，∠AOB= ，OA=2．以点O为原点，OA，OB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P是 一动点，点Q是直线y=3上一动点，当△OPQ是和合三角形时，求点P坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）P ，

【解析】

（1）过点D作DE⊥AB，易证Rt△ACD≌Rt△AED，所以AE=AC=3，所以BE=2，设CD=x，则DE=x，DB=4-x，在Rt△BDE中，，列出方程式可求得，则CD∶AC=1∶2，即证△ACD是和合三角形；

（2）易证DM∥AC，且DM= AC，由三角形面积关系可得S△DME= S△ABC，因为S△DME= DEEF= S矩形DEFG，即可求得S矩形DEFG= S△ABC=2；

（3）分三种情况讨论即可，分别讨论△OPQ中三个内角为90°时，点P的坐标即可.

（1）解：过点D作DE⊥AB

∵AD平分∠CAB，∠C=

∴DE=CD

∵AD=AD

∴Rt△ACD≌Rt△AED

∴AE=AC=3

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=5

∴BE=2

设CD=x，则DE=x，DB=4-x

在Rt△BDE中，

即:

解得:

∴CD∶AC=1∶2

∴△ACD是和合三角形；

（2）解：∵点D是边AB中点，点M是边BC中点

∴DM∥AC，且DM= AC

∴S△DME= ×DM×MC= = = S△ABC

∵S△DME= ×DE×EF= S矩形DEFG

∴S矩形DEFG= S△ABC=2；

（3）解：①∵

∴

②当 时

过点P作CD⊥x轴于点D，交直线y=3于点C

则

∴

∵

∴

∴

∴△OPD∽△PQC

∴ 或

设OD=a，则CP=2a或

∴PD=3-2a或3-

在Rt△OPD中，

若PD=3-2a

则

解得： （舍去），

若PD=3-

则

方程无解

∴点P

③当 时

分别过点P,Q作PE⊥x轴于点E，QF⊥x轴于点F

同②理：△OPE∽△QOF

∴ 或

∵

∴OE=6(舍去)，或OE=

∴PE=

∴点P

综上，点P ， .