Question

如图，已知二次函数y=-ax²+4ax-3的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）若AB=2，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形的面积与△AOC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-ax²+4ax-3的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
∴当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）；
∴抛物线的对称轴为：x=-=2；

（2）∵AB=2，对称轴为x=2，
∴A（1，0），B（3，0），
∴代入二次函数解析式得：
0=-a+4a-3，
∴解得：a=1，
∴y=-x²+4x-3；

（3）∵△AOC的面积为：×AO×CO=×1×3=，
以P、A、B为顶点的三角形的面积为时，AB=2，
∴△PAB，AB边上的高PE=，
当y=-时，-=-x²+4x-3；
解得：x=，
∴P点坐标为：（，-），（，-），
当y=时，=-x²+4x-3；
此方程没有实数根，
∴P点坐标为：（，-），（，-）．
分析：（1）根据二次函数与坐标轴交点求法得出x=0时，y的值，即可得出答案，利用对称轴公式求出即可；
（2）利用AB=2，对称轴为x=2，得出A，B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）根据以P、A、B为顶点的三角形的面积与△AOC的面积相等，得出△AOC的面积，即可得出以P、A、B为顶点的三角形的高，再代入二次函数解析式即可得出答案．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及对称轴公式和三角形面积公式等知识，此题主要分类讨论思想的应用，不要漏解．