Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

5

4

x²+bx+c经过点A（0，1）、B（3，

5

2

）两点，BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）连结AM、BM，设△AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）连结PC，当t为何值时，四边形PMBC是菱形？

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法将A，B点代入求出即可；
（2）首先求出直线AB的解析式，进而用t表示出P以及M点坐标，再利用S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP求出即可，结合二次函数最值求法得出答案；
（3）利用菱形的判定以及勾股定理和一元二次方程的解法得出t的值，进而得出符合条件的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

5

4

x²+bx+c经过点A（0，1）、B（3，

5

2

）两点，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+c= 5 2

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴抛物线解析式为：y=-

5

4

x2+

17

4

x+1；

（2）∵设点P的横坐标为t，
∴M点坐标为：（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
∴直线AB的解析式为：y=

1

2

x+1，
∵P点在直线AB上，点P的横坐标为t，
∴P点的纵坐标为：

1

2

t+1，
∴MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-

1

2

t-1=-

5

4

t²+

15

4

t，
∴S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP=

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×t+

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×（3-t）
=-

15

8

t²+

45

8

t，
当t=

3

2

时，S最大值=

135

32

；

（3）t=1时，四边形PMBC为菱形．
理由：∵BC∥PM，当BC=MP时，四边形MPCB是平行四边形，
当BC=PC时，平行四边形PMBC是菱形，
∵B（3，

5

2

），
∴BC=

5

2

，即MP=PC=

5

2

=-

5

4

t²+

15

4

t，
解得：t₁=1，t₂=2，
PC=

( 1 2 t+1)2+(3-t)2

=

5

2

，
解得：t₁=1，t₂=3，
只有同时满足两个方程才可以，
故t=1．此时四边形PMBC为菱形．

点评：此题主要考查了菱形的判定以及待定系数法求二次函数解析式和二次函数最值求法等知识，利用数形结合得出MP=PC时t的值是解题关键．