Question

（11分）已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E.

 

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等.

（2）记S＝S_△OEF－S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存

在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）证明：设E（x₁，y₁）,F(x₂，y₂)，△AOE和△FOB的面积分别为S₁、S₂，

由题意得，

 

∴，　

 

∴S₁＝S₂　，即△AOE和△FOB的面积相等.……………………3分

（2）由题意知：E、F两点坐标分别为E（，3）、F（4，）

 

 

S_△ECF＝EC·CF＝（4－）（3－）

 

S_△EDF＝S_矩形AOBC－S_△AOE－S_△ECF＝12－k－k－S_△ECF

 

S＝S_△OEF－S_△ECF＝12－k－2 S_△ECF

＝12－k－2×（4－）（3－）

 

S＝k²+k，

 

当k=6时，S有最大值3．…………………7分

（3）存在符合条件的点F，它的坐标为（4，）……………………11分

 

解析:略