题目内容
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P以
| 3 | 4 |
①当PQ∥AB时，求t的值；
②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．
分析：（1）①由PQ∥AB得CP：CA=CQ：CB列方程求t；
②作CE⊥AB，利用面积法分别求CE，CD，得DE=CE-CD，判断PQ=2DE是否成立；
（2）如图，利用相似比分别求PM、QN，O为PQ的中点，由梯形的中位线性质求OH，判断PQ与2OH的大小关系即可．
②作CE⊥AB，利用面积法分别求CE，CD，得DE=CE-CD，判断PQ=2DE是否成立；
（2）如图，利用相似比分别求PM、QN，O为PQ的中点，由梯形的中位线性质求OH，判断PQ与2OH的大小关系即可．
解答：
解：（1）①如图1，依题意，得AP=
t，CP=3-
t，CQ=t，BQ=4-t，
∵PQ∥AB，
∴CP：CA=CQ：CB，即（3-
t）：3=t：4，解得t=2，
②相交．
理由：作CE⊥AB，垂足为E，交PQ于D，当t=2时，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，则CE=
=2.4，
在Rt△PQC中，PC=1.5，CQ=2，由勾股定理得PQ=2.5，则CD=
=1.2，
∴DE=2.4-1.2=1.2，
PQ＞DE，
∴以PQ为直径的圆与直线AB相交；
（2）在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能与直线AB相切．
如图2，设PQ的中点为O，分别过P、O、Q三点作AB的垂线，垂足为M、H、N，则OH∥PM∥QN，故OH是梯形PQNM的中位线，
依题意，得AP=t，CP=3-t，CQ=t，BQ=4-t，PQ=
，
由△APM∽△ABC，得PM=
t，
由△QBN∽△ABC，得QN=
（4-t），∴OH=
（PM+QN）=
，
当
PQ=OH时，
=
，即49t2-174t+81=0，解得t=3或
．
解：（1）①如图1，依题意，得AP=| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵PQ∥AB，
∴CP：CA=CQ：CB，即（3-
| 3 |
| 4 |
②相交．
理由：作CE⊥AB，垂足为E，交PQ于D，当t=2时，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，则CE=
| 3×4 |
| 5 |
在Rt△PQC中，PC=1.5，CQ=2，由勾股定理得PQ=2.5，则CD=
| 1.5×2 |
| 2.5 |
∴DE=2.4-1.2=1.2，
| 1 |
| 2 |
∴以PQ为直径的圆与直线AB相交；
（2）在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能与直线AB相切．
如图2，设PQ的中点为O，分别过P、O、Q三点作AB的垂线，垂足为M、H、N，则OH∥PM∥QN，故OH是梯形PQNM的中位线，
依题意，得AP=t，CP=3-t，CQ=t，BQ=4-t，PQ=
| (3-t)2+t2 |
由△APM∽△ABC，得PM=
| 4 |
| 5 |
由△QBN∽△ABC，得QN=
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| t+12 |
| 10 |
当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| (3-t)2+t2 |
| t+12 |
| 10 |
| 27 |
| 49 |
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质．关键是根据已知条件作平行线，垂线，构造相似三角形求解．
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（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．
边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，sinA=
点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．