Question

如图，一次函数y=kx+b交两轴于A、B两点，M（-1，0），AM=，N为y轴的正半轴上一点，AM与BN相交于点P，AN=OM，AO=BM．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求四边形PMOC的面积；
（3）过N作NC⊥AM于C，求证：PN=．

Answer 1

（1）解：由M（-1，0），得到OM=1，
在Rt△AOM中，OM=1，AM=，
根据勾股定理得：AO==3，
∴A（0，3），
又∵AO=BM=3，OM=1，
∴OB=OM+MB=4，即B（-4，0），
将A与B坐标代入y=kx+b中得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+3；

（2）解：∵AN=OM=1，OA=3，
∴ON=3-1=2，即N（0，2），
设直线BN解析式为y=mx+n，将N与B坐标代入得：，
解得：，
则直线BN解析式为y=x+2，
同理直线AM解析式为y=3x+3，
联立两解析式得：，
解得：，即P（-，），
则S_{四边形PMON}=S_△BON-S_△BMP=OB•ON-BM•|y_P纵坐标|=×4×2-×3×=；

（3）证明：过N作NC⊥AM，过M作MQ⊥BN，如图所示，
∵P（-，），B（-4，0），
∴BP==，
∴S_△BMP=BP•QM=××QM=×3×，即QM=，
在Rt△BMQ中，BM=3，QM=，
根据勾股定理得：BQ==，
则PQ=BP-BQ=-==QM，
∴△PQM为等腰直角三角形，
∴∠QPM=45°，
∴∠CPN=∠QOM=45°，又∠PCN=90°，
∴sin∠CPN=sin45°==，
则PN=NC．
分析：（1）由M的坐标得到OM的长，在直角三角形AOM中，由OM与AM的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，由BM=AO求出BM的长，再由BM+OM求出OB的长，确定出B的坐标，将A与B坐标代入一次函数y=kx+b中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）四边形PMON的面积=三角形BON面积-三角形BPM面积，由AN=OM求出AN的长，再由OA-AN求出ON的长，确定出N坐标，由OB与ON长求出三角形BON面积，设直线BN解析式为y=mx+n，将N与B坐标代入求出m与n的值，确定出直线BN解析式，同理确定出直线AM解析式，联立两解析式求出交点P的坐标，由BM与P纵坐标的绝对值求出三角形BMP的面积，进而求出四边形PMON的面积；
（3）过N作NC⊥AM，过M作MQ⊥BN，由P与B坐标利用两点间的距离公式求出BP的长，再由（2）求出的三角形BPM的面积，利用面积公式求出BP边上高MQ的长，在直角三角形BMQ中，由BM与MQ的长，利用勾股定理求出BQ的长，由BP-BQ求出PQ的长，发现PQ=MQ，可得出三角形PQM为等腰直角三角形，再根据对顶角相等得到∠CPN=∠QOM=45°，在直角三角形CPN中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值化简，即可得证．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，两直线的交点坐标，两点间的距离公式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，灵活运用待定系数法是解本题的关键．