Question

已知：如图，在矩形中，是对角线.点为矩形外一点且满足，.交于点，连接，过点作交于.

（1）若，求矩形的面积；
（2）若，求证：.

Answer 1

（1）3（2）证明见解析

（1）∵AP⊥CP且AP＝CP
∴△APC为等腰直角三角形
∵AP＝
∴AC＝.................1分
∵AB＝BC
∴设AB＝x，BC＝3x
∴在Rt△ABC中
x²+(3x)²=10
10x²=10
x=1.................3分
∴.................4分
（2）延长AP，CD交于Q

∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90⁰
且∠CND=∠ANP
∴∠1=∠2
又∠3+∠5=∠4+∠5=90⁰
∴∠3=∠4
又∵AP＝CP
∴△APM≌△CPD
∴DP＝PM
又∵CD＝PM
∴CD＝PD
∴∠1＝∠3
∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°
∵∠1＝∠3
∴∠Q=∠6
∴DQ=DP=CD
∴D为CQ中点
又∵AD⊥CQ
∴AC＝AQ＝AP+PQ
又∵∠1＝∠2
∠APN＝∠CPQ＝90⁰
AP=CP  ∴△APN≌△CPQ
∴PQ＝PN
∴AC＝AP+PQ＝AP+PN.................10分
（1）由已知条件知△APC为等腰直角三角形，即可求得AC的长，再利用勾股定理求得AB，BC的长，从而求得矩形ABCD的面积
（2）延长AP，CD交于Q,通过角之间的等量关系，求得△APN≌△CPQ，得出PQ＝PN，从而求得结论