Question

如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移，设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm²）（不考虑点P与G、F重合的情况）。
（1）当x为何值时，OP∥AC？
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由。
（参考数据：114² =12996，115²=13225，116² =13456 或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
∴， 
∴FG==3cm，
∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，
∴OP∥AC，
∴ x =×3=1.5（s），
∴当x为1.5s时，OP∥AC；
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF =5cm，
∵EG∥AH，
∴△EFG∽△AFH，
∴，
∴，
∴AH=（x +5），FH=（x+5），
过点O作OD⊥FP，垂足为D，
∵点O为EF中点，
∴OD=EG=2cm，
∵FP=3-x，
∴S_{四边形OAHP} =S_△AFH-S_△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·（x+5）·（x+5）-×2×（3-x ）
=x²+x+3 （0＜x＜3）
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24，
则S_{四边形OAHP}=×S_△ABC
∴x²+x+3=××6×8，
∴6x²+85x-250=0，
解得x₁=，x₂=-（舍去），
∵0＜x＜3，
∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24。