Question

7．设不全相等的非零实数a，b，c满足$\frac{bc}{2{a}^{2}+bc}$+$\frac{ac}{2{b}^{2}+ac}$+$\frac{ab}{2{c}^{2}+ab}$=1，求a+b+c的值．

Answer 1

分析 根据不全相等的非零实数a，b，c满足$\frac{bc}{2{a}^{2}+bc}$+$\frac{ac}{2{b}^{2}+ac}$+$\frac{ab}{2{c}^{2}+ab}$=1，灵活变化，进行化简，分解因式，即可求得问题的答案．

解答 解：∵$\frac{bc}{2{a}^{2}+bc}$+$\frac{ac}{2{b}^{2}+ac}$+$\frac{ab}{2{c}^{2}+ab}$=1，
∴$\frac{bc}{2{a}^{2}+bc}+\frac{ac}{2{b}^{2}+ac}=1-\frac{ab}{2{c}^{2}+ab}$，
$\frac{b}{2{a}^{2}+bc}+\frac{a}{2{b}^{2}+ac}=\frac{2c}{2{c}^{2}+ab}$，
$\frac{{b}^{3}+abc+{a}^{3}}{（2{a}^{2}+bc）（2{b}^{2}+ac）}=\frac{c}{2{c}^{2}+ab}$，
c•（2a²+bc）（2b²+ac）=（2c²+ab）（b³+abc+a³），
化简，得
a³+b³+c³-3abc=0，
即（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）=0，
∵a，b，c是不全相等的非零实数，
∴a²+b²+c²-ab-ac-bc≠0，
∴a+b+c=0．
即a+b+c的值是0．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是化简后再因式分解，然后根据题目中的信息进行讨论．