Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点A作PO的垂线BA，垂足为点O，交⊙O于点B，延长AO与⊙O交于点C，连接BC．
（1）求证：直线PB为⊙O的切线；
（2）若AB=FD，且BC=6，求出PE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OB，根据等腰三角形性质求出∠AOP=∠BOP，根据SAS证△PAO≌△PBO，推出∠OBP=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD=

1

2

AB=

1

2

DF，求出OD=3，设AD=x，则DF=2x，AO=FO=2x-3，在△ADO中，x²+3²=（2x-3）²，求出x=4，证△ADP∽△ADO，求出PD，即可求出答案．

解答：证明：（1）连接OB，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，PO⊥BA，
∴∠AOD=∠BOD，
在△PAO和△PBO中

AO=BO ∠AOD=∠BOD PO=PO

，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∵点B在⊙O上
∴直线PB为⊙O的切线；

（2）∵PO⊥BA，OA=OB，
∴AD=BD，
∵OA=OC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

DF，
∴OD=

1

2

BC=3，
设AD=x，则DF=2x，AO=FO=2x-3，在△ADO中，x²+3²=（2x-3）²，
∴x=4，
即AD=4，AO=5，ED=2，
∵∠PAO=∠ADP=∠ADO=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，∠PAD+∠OAD=90°，
∴∠APD=∠OAD，
∴△ADP∽△ADO，

PD

AD

=

AD

DO

，

PD

4

=

4

3

，
∴PD=

16

3

，
∴PE=PD-ED=

10

3

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理等知识点的综合应用．