如图.直线y=-x+3与x轴.y轴分别交于B.C两点.抛物线y=-x2+bx+c经过点B和点C.点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标,(2)若点Q在抛物线的对称轴上.能使△QAC的周长最小.请求出Q点的坐标,与线段BC交于点D.则是否存在这样的直线l.使得以B.O.D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在.求出该直线的函数表达式及点D的坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；
（3）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）直线y=-x+3，求出当x=0时，y的值和当y=0时，x的值，即可得到C、B的坐标，代入即可求出答案；
（2）根据对称由B（3，0），得到A的坐标是（-1，0），作C关于对称轴（直线x=1）的对称点D，连接AD交直线x=1于Q，则Q为符合条件的点，得到D的坐标，设直线AD的解析式是y=kx+b，把A、D的坐标代入求出直线AD，把x=1代入求出y=2即可得到答案；
（3）存在，分两种情况：①AC∥OD，根据平行线分线段成比例定理求出直线和点的坐标；②当AC与OD不平行时，根据BO：BC=BD：BA，求出BD=2

，得到直线OD的解析式和D的坐标．
解答：（1）解：直线y=-x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时，x=3，
∴C（0，3），B（3，0），
∴y=-x²+bx+3，
把B（3，0）代入得：b=2，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，顶点坐标是（1，4），
答：抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，顶点坐标是（1，4）．

（2）解：根据对称由B（3，0），得到A的坐标是（-1，0），
作C关于对称轴（直线x=1）的对称点D，连接AD交直线x=1于Q，则Q为符合条件的点，
D的坐标是（2，3），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
把A、D的坐标代入得：

，
解得：k=1，b=1，
∴y=x+1，把x=1代入得：y=2
∴Q（1，2），
答：Q的坐标是（1，2）．

（3）解：存在，
分两种情况：①AC∥OD，此时，y=3x，D点坐标为：（

，

）；
②当AC与OD不平行时，BO：BC=BD：BA，
可求得BD=2

，
此时直线OD的解析式为：y=2x，
D点的坐标为：（1，2），
答：存在，当AC∥OD时，直线的函数表达式是y=3x，点D的坐标是（

，

）；当AC与OD不平行时，直线的函数表达式是y=2x，点D的坐标是（1，2）．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点，二次函数的三种形式，相似三角形的性质和判定，解二元一次方程组，轴对称的性质等知识点的连接和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，综合性强，分类讨论思想的运用．