Question

16．如图，在等边△ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．取AB边的中点F，连接CF、CE，试判断四边形AFCE的形状．并说明理由．

Answer 1

分析 首先由在等边△ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE，易得CF⊥AB，∠BAE=90°，即可得CF∥AE，又由AD=CF=AE，可证得四边形AFCE是平行四边形，即可判定四边形AFCE是矩形．

解答 解：四边形AFCE是矩形．
理由：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE=60°；
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；
∴∠FAE=90°；
∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC=90°，
∴AE∥CF；
∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线，
∴AD=CF；
又∵AD=AE，
∴CF=AE；
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵∠AFC=∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形．

点评 此题考查了矩形的判定以及等边三角形的判定与性质．注意证得CF∥AE，CF=AE是解此题的关键．