Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F．

求证：四边形BEDF是正方形．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：因为DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，∠ABC＝90°， 　　所以∠DFB＝∠ABC＝∠DEB＝90°， 　　所以四边形BEDF是矩形． 　　因为BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F， 　　所以DE＝DF， 　　所以矩形BEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 　　证法二：先根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证四边形BEDF是菱形，再由∠ABC＝90°，得菱形BEDF是正方形． 　　分析：由题设可得∠FBE＝90°，∠BED＝90°，∠DFB＝90°，所以四边形BEDF是矩形．再通过有一组邻边相等的矩形是正方形来证得结论或先证是菱形再证是正方形．由于此题条件更适合先证四边形BEDF是矩形，所以利用有一组邻边相等的矩形是正方形来证更简便一些．