Question

已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)， B(s，t)，C(，0)，抛物线y=x²＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．

(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；

(2)当抛物线y=x²＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．

                                                            

 

Answer 1

解：

（1）如图，

在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC．

∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，

故BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（，1）．

即s=，t=1．直角梯形如图所画．

 

（2）由题意，y=x²+mx－m与 y=1（线段AB）相交，

得，       

∴1＝x²+mx－m，

由 (x－1)(x+1+m)=0，得．

∵=1<，不合题意，舍去．     

∴抛物线y=x²+mx-m与AB边只能相交于（，1），    

   ∴≤－m－1≤，∴ ．(1)

又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，

∴，即  ． ②         

∵，

∴点P一定在线段AB的下方．               

又∵点P在x轴的上方，

∴，

∴ ．

③     

又∵点P在直线y=x的下方，∴，即

 

     ④     

  由①②③④ ，得．