Question

如图所示，锐角△ABC中，∠A的平分线与三角形的外接圆交于另一点A₁，点B₁，C₁与此类似，直线AA₁与B、C两角的外角平分线相交于A₀，点B₀、C₀与此类似．求证：
①△A₀B₀C₀的面积是六边形AC₁BA₁CB₁面积的2倍；
②△A₀B₀C₀的面积至少是△ABC面积的4倍．

Answer 1

分析：（1）首先根据内心的性质，得到A₁I=A₁B．根据已知BB₀，BA₀分别是∠B的内角和外角平分线，证得BB₀⊥BA₀，则∠A₁BA₀=90°-∠A₁BI=90°-∠BIA₀=∠BA₀I．得到A₁B=A₁A₀═A₁I，于是有S_△A0BI=2S_△A1BI．同理，还有类似的这样五个等式，将此六式相加，即得到结论．
（2）∵S_△ABC≤S_△A1BC+S_△AB1C+S_△ABC1．得到2S_△ABC≤S_△AC1BA1CB1．所以S_△A0B0C0=2S_AC1BA1CB1≥2•2S_△ABC=4S_△ABC．

解答：证明：（1）因AA₀、BB₀的交点I是△ABC的内心，易知A₁I=A₁B．
又∵BB₀，BA₀分别是∠B的内角和外角平分线，
∴BB₀⊥BA₀，∠A₁BA₀=90°-∠A₁BI=90°-∠BIA₀=∠BA₀I．
∵A₁B=A₁A₀═A₁I，
∴S_△A0BI=2S_△A1BI．
同理，还有类似的这样五个等式，将此六式相加，即有S_△A0B0c0=2S_△AC1BA1CB1．
（2）∵S_△ABC≤S_△A1BC+S_△AB1C+S_△ABC1．
∴2S_△ABC≤S_△AC1BA1CB1．
∴S_△A0B0C0=2S_AC1BA1CB1≥2•2S_△ABC=4S_△ABC．
即△A₀B₀C₀的面积至少是ABC面积的4倍．

点评：本题考查了三角形内心的性质：内心是三角形角平分线的交点．也考查了圆周角定理以及三角形的面积公式．