Question

如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+ CD最小时点D的坐标；
（3）以点A为圆心，以AD为半径作OA。
①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切；
②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：______。

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 将C（0，3）代入上式， 得3=a（0 +1）（0-3）， 解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）， 即y=-x2+2x+3；
（2）如图，连接BC，交直线l于点D， ∵点B与点A关于直线l对称， ∴AD=BD， ∴AD+CD=BD+CD=BC， 由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD+CD最小，点D的位置即为所求， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 由直线BC过点B（3，0），C（0，3），得 解这个方程组，得 ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 由（1）知：对称轴l为，即x=1， 将x=1代人y=-x+3，得y=-1+3=2， ∴点D的坐标为（1，2）；
（3）①连接AD，设直线l与x轴的交点记为点E， 由（2）知：当AD+CD最小时，点D的坐标为（1，2）， ∴DE=AE=BE=2， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ∴BD与⊙A相切； ②（1，-2）。