Question

如图，在△ABC中，∠B=15°，△ABC的面积为2，过点A作AD⊥AB交BC或BC的延长线于点D，MN垂直平分BD，垂足为N，交AB于点M．
（1）求证：BM=2AD；
（2）设BC=x，BD=y．求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域．

Answer 1

分析：（1）连接MD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BM=MD，再根据等边对等角的性质可得∠MDB=∠B，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMD的度数，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可证明；
（2）过点A作AH⊥BD于点H，根据△ABC的面积是2表示出AH，再利用BD及15°的正弦值与余弦值表示出AH，然后整理求解即可得到y与x之间的函数解析式．

解答：（1）证明：∵MN垂直平分BD，
∴BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=15°，
∴∠AMD=∠MBD+∠MDB=30°，
又∵△AMD是直角三角形，
∴MD=2AD（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵BM=MD，
∴BM=2AD；

（2）解：过点A作AH⊥BD于点H，则
S_△ABC=

1

2

BC•AH=2，
∴AH=

4

x

，
又∵AH=ABsin15°=BDcos15°•sin15°，
∴AH=ycos15°•sin15°，
∴

4

x

=ycos15°•sin15°=y×

6 + 2

4

×

6 - 2

4

=

y

4

，
∴y=

16

x

（x＞0）．

注：设AD=1，则MD=2，AM=

MD2-AD2

=

22-12

=

3

，
∴AB=BM+AM=2+

3

，
BD=

AB2+AD2

=

(2+ 3 )2+12

=

6

+

2

，
∴sin15°=

AD

BD

=

1

6 + 2

=

6 - 2

4

，
cos15°=

AB

BD

=

2+ 3

6 + 2

=

6 + 2

4

．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的面积的利用，注意15°角的正弦值与余弦值的利用是（2）中求解的关键．