Question

【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．

∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．

∴△MDI∽△ANI．

∴，

∴IAID＝IMIN，①

如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．

∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．

∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，

∴∠DBE＝∠IFA．

∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB，

∴．

∴IABD＝DEIF②

任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝　　（用含R，d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6cm, BC=8cm,点O为AB中点，点I是△ABC的内心，则OI=　　cm．

Answer 1

【答案】（1）R﹣d；（2）BD＝ID，理由见解析 ；（3）见解析；（4）．

【解析】

（1）由IM+IN=2R可得出结果；

（2）过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，证明∠BID＝∠DBI即可；

（3）应用（1）（2）的结论即可；

（4）由题意可知，O为△ABC的外心，求出外接圆和内切圆半径，然后将数据直接代入公式计算即可.

解：（1）∵IM+IN=2R

∴IN=2R-IM=R﹣d

故答案为：R﹣d；

（2）BD＝ID，理由：

如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，

∵点I是△ABC的内心

∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI

∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI

∴∠BID＝∠DBI

∴BD＝ID

（3）由（2）知：BD＝ID

∴IAID＝DEIF

∵DEIF＝IMIN

∴2Rr＝（R+d）（R﹣d）

∴R2﹣d2＝2Rr

∴d2＝R2﹣2Rr

（4）AB=cm

∵O为Rt△ABC斜边上的中点，

∴O为△ABC的外心，

∴R=AB=5cm，

△ABC的内切圆半径cm

∴cm

故答案为：．