Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：CE=

1

2

BF．

Answer 1

分析：（1）由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第（1）问的结论；
（2）在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．

解答：证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，
∴BD=DC，且∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
在△BDF和△CDA中，

∠BDF=∠CDA DB=DC ∠DBF=∠DCA

，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC．

（2）由（1）得BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB=90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE=

1

2

AC=

1

2

BF．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．